二項式分布 (Binomial Distribution)

教學主題：神奇的二選一預言家

各位小朋友好！今天我們要來學一個讓你能預測未來的數學工具，叫做二項式分布。 它的英文名稱是 Binomial Distribution，在數學界也有人稱它為重複伯努利試驗。

生活中有很多事情只有兩種結果，例如丟硬幣只有正面或反面。 如果你打算連續做好幾次這種二選一的事情，我們可以用這套規則來預測結果。 要玩這個預言遊戲，有三個規矩：第一，結果只有兩種。第二，每次成功的機會都固定。 第三，每次嘗試都是獨立的，不會互相影響。

為了方便大家查機率，數學家準備了兩張表。一張是二項式分布表（英文Binomial Distribution Table）， 表格的行通常代表成功的機率， 列則代表總次數和你想看到的成功次數， 交叉點就是剛好發生幾次的機率。 一張是二項式累積分布表（英文Cumulative Binomial Distribution Table）， 它的內容是把發生零次到某次的所有機率加起來，讓你一眼看出成功次數小於或等於某個數字的總機率。

練習題一：誰符合規則
小明紀錄今天下午看到的每輛汽車是紅色還是不是紅色，他一共看了五十輛車。請問這符合二項式分布嗎？
詳細解釋：答案是符合。因為結果被簡化成只有兩種： 紅色或是非紅色。雖然路上有很多顏色的車，但只要我們只關心是不是紅色，它就符合二選一的規則。

練習題二：機率高低直覺
如果你是神射手，進球率百分之九十。投十球中，進九球的機率跟進一球的機率哪個高？
詳細解釋：答案是進九球。因為你的成功率很高，二項式分布會讓結果集中在成功次數多的那一邊。

練習題三：預測大師的計算
小華投籃100次，每球進球率是0.2。請算出他剛好進0球的機率式子、期望值與標準差。
詳細解釋：
第一，機率式子：C100取0乘以0.2的0次方，再乘以0.8的100次方。 C100取0是排列組合的公式寫法，等於100階除以100階除以0階， 詳細來說C的定義就是C(N取M)等於N偕除以M偕再除以N減M偕，舉例來說C6取2就是6偕除以2偕再除以4偕。 所謂階就是階乘，例如3偕就是3偕乘等於3乘以2乘以1等於6，而其在數學上可用3驚嘆號來表示， 而9偕就是9乘以8乘以7乘以6乘以5乘以4乘以3乘以2乘以1等於362880。 所以以上算式C100取0乘以0.2的0次方，再乘以0.8的100次方， 等於100階除以0階除以100階乘以0.2的0次方再乘以0.8的100次方， 等於100階除以1除以100階乘以1再乘以0.0000000002037035976， 等於1除以1乘以1再乘以0.0000000002037035976， 等於0.0000000002037035976。
第二，期望值，預期進幾球，為總次數100乘以機率0.2等於20球。
第三，標準差，結果跳動程度，計算方法是總次數乘以成功率再乘以失敗率，最後開根號。 算式為100乘以0.2乘以0.8等於16，16開根號等於4。

關於標準差算法的證明，首先我們需要知道什麼是平均數(英文Average或Mean)。 平均數就是加總除以數量，舉例來說1、5、6這三個數的平均數就是1+5+6再除以3，等於12除以3，等於4。 這種平均數就是一般你所熟知的平均數算法又叫算術平均數(英文Arithmetic Mean)。 還有一種平均數叫加權平均數(英文Weighted Average，權重英文Weight)，為什麼叫加權平均數呢? 舉例來說: 一個學校有2個班級，一個班級有2名學生，另一個班級有3名學生，考試兩個班級學生分數分別為： 甲班 88和99； 乙班 77和66和88， 甲班的算術平均數為88+99再除以2，等於187除以2，等於93.5。 乙班的算術平均數為77+66+88再除以3，等於231除以3，等於77。 而甲乙兩班算術平均數為93.5+77再除以2，等於170.5除以2，等於85.25。 但是這樣的計算沒有考慮每個班級學生數量不同，所以兩班總算術平均數為88+99+77+66+88再除以5，等於418除以5，等於83.6。 用加權平均數的說法來說，甲班有2位學生，乙班有三位學生，一個權重是2，一個權重是3， 所以算法為(93.5乘以2)加上(77乘以3)最後再除以(2+3)，全程遵循四則運算先乘除後加減，等於187+231再除以5，等於418除以5 ，等於83.6。

為什麼要提到平均數呢? 因為在機率理論中，將項目發生的機率視作權重，所得到的加權平均數就叫做期望值(英文Expected value)。 舉例來說發生x的機率是p，發生x1的機率是p1，發生x2的機率是p2，期望值就是他們的加權平均數， 等於(x乘以p)加上(x1乘以p1)加上(x2乘以p2)最後再除以(p1+p2+p3)。而通常機率的總和是1，也就是p1+p2+p3等於1，所以可以忽略。 整個式子就變成了(x乘以p)加上(x1乘以p1)加上(x2乘以p2)。

為什麼要提到期望值呢? 因為變異數(英文Variance)就是E((x-u)^2)，也就是((項目-平均數)開2次方)取期望值， 舉例來說有三個數8、4、1，他們的平均數是(8+4+1)/3=4.3333， 此時8的變異數是 ((8-4.3333)^2)*(1/3)=((8-((8+4+1)/3))^2)*(1/3)=4.4814814814814814814814814814815， 此時4的變異數是 ((4-4.3333)^2)*(1/3)=((4-((8+4+1)/3))^2)*(1/3)=0.03703703703703703703703703703704， 此時1的變異數是 ((1-4.3333)^2)*(1/3)=((1-((8+4+1)/3))^2)*(1/3)=3.7037037037037037037037037037037， 他們三個的變異數是 4.4814814814814814814814814814815+0.03703703703703703703703703703704+3.7037037037037037037037037037037= ((8-((8+4+1)/3))^2)*(1/3)+((4-((8+4+1)/3))^2)*(1/3)+((1-((8+4+1)/3))^2)*(1/3)= (((8-((8+4+1)/3))^2)+((4-((8+4+1)/3))^2)+((1-((8+4+1)/3))^2))/3= 8.2222222222222222222222222222222。 注意8.2222222222222222222222222222222是母體變異數，他們是除以3，也就是乘以3分之1， 如果是樣本變異數是除以2，除以2是因為他們有3個，依據樣本變異數定義要將3減掉1等於2， 也就是(((8-((8+4+1)/3))^2)+((4-((8+4+1)/3))^2)+((1-((8+4+1)/3))^2))/2 =12.333333333333333333333333333333。 第二個例子有三個數8、4、1，其機率分別為0.1、0.2、0.7，他們的平均數是他們的加權平均數是他們的期望值，也就是: ((8*0.1)+(4*0.2)+(1*0.7))/(0.1+0.2+0.7)= ((8*0.1)+(4*0.2)+(1*0.7))/1= ((8*0.1)+(4*0.2)+(1*0.7))= 2.3， 他們三個的變異數是 ((8-2.3)^2)*0.1+((4-2.3)^2)*0.2+((1-2.3)^2)*0.7= 5.01

為什麼要提到變異數呢? 因為標準差(英文standard deviation，std dev，SD)就是變異數開根號， 也就是說剛才算出的變異數是5.01，那標準差就是5.01^(1/2)=5.01^0.5= 2.2383029285599391361039376176564

學會了這些，你就能更科學地預測重複發生的事情喔！

附錄 練習題三：預測大師的計算
小華投籃100次，每球進球率是0.2。請算出他剛好進0球的機率式子、期望值與標準差。
Probability mass function(M): 100!/(M!(100-M)!)*(0.2^M)*(0.8^(100-M))
Mean = Weighted Average = expected value(M): sigma(M=0~100){M*probability mass function(M)}
Variance: expected value((M-expected value)^2)
= sigma(M=0~100){((M-expected value)^2)*probability mass function(M)}
Standard Deviation: Variance^0.5

/*Me and Gemini: 用Javascript寫出一個算出N偕乘的函數*/
function Factorial(n) {
// 基礎條件：0! 和 1! 都是 1
if (n === 0 || n === 1) {
return 1;
}
// 遞迴呼叫
return n * Factorial(n - 1);
}

/*Me : 用javascript寫出排列組合P函數*/
/*排列（Permutation，符號 P）是指從相異元素中取出元素，並考慮順序的排成一列的方法數。*/
function P(N,M) {
return Factorial(N)/Factorial(N-M);
/*P(5,2)=5*4*/
}

/*Me : 用javascript寫出排列組合C函數*/
/*組合 (Combination，符號 C) 是指從相異元素中取出元素，不考慮順序的排成一列的方法數。*/
function C(N,M) {
return P(N,M)/Factorial(M);
/*C(5,2)=(5*4)/(2!)*/
}

function BinomialDistributionProbabilityMassFunction(Total,Success,Failed,M){
return C(Total,M)*(Success**M)*(Failed**(Total-M));
}

function BinomialDistributionExpectedValue(Total,Success,Failed,Start,End){
let sum=0;
for(let i=Start;i<=End;i++){
sum+=i*BinomialDistributionProbabilityMassFunction(Total,Success,Failed,i);
}
return sum;
}

function BinomialDistributionVariance(Total,Success,Failed,Start,End){
let ExpectedValue = BinomialDistributionExpectedValue(Total,Success,Failed,Start,End);
let sum=0;
let P=0;
for(let i=Start;i<=End;i++){
P = BinomialDistributionProbabilityMassFunction(Total,Success,Failed,i);
sum+=((i-ExpectedValue)**2)*P;
}
return sum;
}

function BinomialDistributionStandardDeviation(Total,Success,Failed,Start,End){
return BinomialDistributionVariance(Total,Success,Failed,Start,End)**0.5
}

BinomialDistributionExpectedValue(100,0.2,0.8,0,100): 20
BinomialDistributionVariance(100,0.2,0.8,0,100): 16
BinomialDistributionStandardDeviation(100,0.2,0.8,0,100): 4